第286章 可以換一個主題了？
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第286章 可以換一個主題了？
“p－adic理論，你們可以稱之為p進數理論，是咱們數論中一個較為重要的基礎理論，同時，它和數學中的其他領域也能十分融洽，甚至也可以作為未來你們上研究生之後的一個研究方向。”
說到這，林曉微微一笑：“上一屆國際數學家大會中，有位31歲的菲爾茲獎得主叫做彼得·舒爾茨，他就是研究p－adic理論的，他利用一種十分絕妙的方法，將一些十分覆雜的幾何問題引入到了p－adic理論當中實現了簡化，然後解決了不少的問題。”
“比如他通過引入擬完備空間把算術代數幾何轉換到p進域上，可將局部域上的算術問題簡化表示為特定的特征及特征域的組合。”
“利用這個技術，他便成功地將霍奇理論中的近純定理實現了推廣。”
“所以研究這個理論，說不定就有可能讓你得到一個菲爾茲獎。”
聽到林曉的話，在場的學生們紛紛翻了個白眼。
瞧您說的，就跟只要研究了這個東西就能拿獎似的。
真要有這麽容易的話，他們還能坐在這裏？
當然，林曉的這一番介紹，還是給了他們這些學生一些興趣，一位菲爾茲獎大佬都研究的東西，他們研究一下，不是更好？
尤其是林曉還提到了霍奇理論，雖然他們不是都知道霍奇理論，但是作為學數學的，他們都知道霍奇猜想嘛。
嗯，能跟千禧年大獎難題掛上鉤的東西，肯定是好東西。
於是這些學生們都露出了認真的表情。
而見到他們的表情，林曉微微一笑，引起了興趣，這就方便他之後的講課了，於是他不再多說，開始了關於p－adic理論的正式講述。
“p進數是有理數域拓展成的完備數域的一種。這種拓展與常見的有理數域到實數域的數系拓展不同，其具體在於所定義的‘距離’概念，我們一般用Qp來表示……”
課堂開始，在場的學生們也都開始了認真地思考。
盡管在場的學生們基本都在之前做過了預習，但是對於學習數學的學生來說，那種哪怕看書也看不懂的知識，也算是十分的常見。
而這個p－adic理論，當然也使得不少學生感到了比較難以理解。
畢竟相比起他們以前所學習的那些數論中的經典定理等，p－adic理論這種連名字都稍微有些奇怪的理論，他們想要理解這個玩意兒，也仍然有些困難。
當然，這時候就要輪到老師來起作用了。
隨著林曉的詳細講述，這些數學中的尖子生們，也逐漸能夠理解了起來。
於是就這樣，這節課的前30分鐘，林曉引領著這些學生們理解了什麽是p－adic理論。
“現在，各位同學應該基本理解了什麽是p進數。”
“p進數主要有兩個性質。”
“第一個，是代數性質。”
“在代數上，Qp是Zp的分式域，跟準確地說，Qp=Zp[1/p]……”
“大家要記住，在咱們數論的領域中，p進數的代數性質是比較重要的，大家回去之後要好好學習一下這方面的知識，鞏固一下，考試是會考的哦～”
說到這，林曉微微一笑。
而見到他的這個笑容，在場的學生們紛紛哆嗦了一下，連忙拿起筆，將這一點記了下來。
在場的學生誰不知道，只要說到考試可能要考的地方，林神一笑，他們可就生死難料了。
因為這意味著林曉往往會在這方面出上一道壓軸題，雖然說難度不會有之前那道題那麽難，但是得分率肯定也不會高。
而看著他們記筆記，林曉笑呵呵的安慰道：“大家別緊張嘛，畢竟我又不是什麽魔鬼。”
然而在座的每一位同學信都不信，紛紛翻了個白眼，然後在這個地方又多加了一個重點標記，順便寫上“非常重要”四個字，免得之後覆習時給忽略了。
而見到沒人相信自己，林曉聳聳肩，繼續講起了課：“那麽就是第二個性質，也就是拓撲性質，拓撲性質的話，倒不是重點，我之前也說過，學習我們如今的數學，專精一個方向其實是最好的，你們如果有興趣往拓撲方面發展一下的話，可以研究研究，不過現在的話，我就簡單講講就行。”
“p－adic的拓撲性質，主要表現為在Qp上的範數，|·|p是一個超度量的範數。它不僅滿足三角不等式，而且滿足更強的關系……”
“這說明，如果將Qp想象成一個幾何空間，那麽其中的三角形的一邊長度總小於等於另外兩邊中較長者，也就是說所有的三角形都是銳角等腰三角形。這與實際中的歐式幾何空間完全不同。由此Qp和R具有截然不同的拓撲性質……嗯？”
說到這裏的時候，林曉的眉頭忽然皺了一下，停止了自己的講述。
而在場的學生們聽到林曉“嗯？”了一聲就不說話了，便都感到了疑惑。
這是怎麽了？
不過，林曉遲疑了片刻之後，又繼續講述起來：“Qp上的拓撲是完全不連通的豪斯多夫空間，同時，Qp是由Q完備化而得，因此Q在Qp中稠密，不僅如此，任意給定……嗯？”
剛說到這裏，林曉忽然又停了下來，擡頭看著PPT上面他列出的一些陳述p進數拓撲性質的數學式，一只手扶住下巴，陷入了沈思的狀態中。
而這就更讓在場的學生們好奇了。
林曉這是想到啥了？
“你們說，林神不會又頓悟了吧？”
底下，一名學生小聲說道。
其他人便都若有所思地點點頭：“好像是的吧……”
畢竟，林曉的頓悟，可是全球都出名了的。
“這又是要頓悟啥了啊……”
“說不定是霍奇猜想呢？林神上課前不是就說這個p－adic理論和霍奇理論有關系嘛。”
“霍奇猜想雖然和霍奇理論有關系，但是霍奇理論包括的內容更大吧？我記得霍奇理論主要講的是一種利用偏微分方程研究光滑流形M的上同調群的方法，霍奇猜想只是包括在裏面吧？”
“狗子，你連這都知道？別卷啦別卷啦～”
……
正當底下學生們都看著林曉那盯著ppt思考的模樣時，林曉終於回過了神。
想起自己此時還在上課，他便回過了神，歉意道：“不好意思，剛才想起了其他事情。”
“咱們繼續。”
隨後，他便加速地講起了課，當然，其實講到這裏他也基本快完了，很快地把拓撲結構講完，然後按照慣例給他們出了一道題，讓他們自己做。
而後，林曉便坐在辦公桌上，找出了紙和筆，開始計算起來。
他剛才為什麽停頓了兩下，便是因為他在這個p－adic理論上，看到了能夠幫助他解決當前所面臨的霍奇猜想中的一個問題。
“通過引入擬完備空間把算術代數幾何轉換到p進域上，並應用於伽羅瓦表示，完全可以用來開發一個新的上同調理論……”
“而且完全可以是Motive上同調！”
林曉在紙上寫下了數個看起來十分覆雜的式子，然後開始嘗試著往上同調方向靠去。
但是片刻後，他眉頭再次一皺。
“如何證明有一類有限非分歧伽羅瓦擴張L/Kp，其環為O`，剩餘域為k`，對其分別存在A`∈H1（E＊o′，Z/2（1））？”
“不解決這個問題的話，在伽羅瓦表示的過程上，將存在一定的問題……”
思考片刻後，他索性直接登錄了自己的郵箱，然後將他的思路附在上面，然後發給了彼得·舒爾茨。
他當然有彼得·舒爾茨的聯系方式。
不過，因為他用的是多媒體上面的電腦，而投影直接投到了黑板的屏幕上面，於是在場的學生們全都看見了。
當看見林曉將他的思路附上去後，在場的學生們都是茫然的。
這是啥玩意兒？
他們除了開頭認識一個p－adic，之後就啥都不認識了，而且林曉因為是發給彼得·舒爾茨的，所以他這封郵件也是全英文的，這就更讓在場的學生們感到迷茫了。
原來這就是數學頂級大牛平常研究的東西嗎？
然而這還沒完，當最後，他們看到林曉附上了彼得·舒爾茨的名字時，就更加驚呆了，林曉這封郵件，居然是發給一位菲爾茲獎得主的？
什麽叫人脈？這特麽的就叫人脈！
而這些，暫時和他們都沒有關系，他們只能低下頭，繼續苦逼地做起了他們的題。
就這樣，時間很快的過去了。
下課鈴聲響起，十分鐘之後，上課鈴聲再度響起，林曉繼續講課。
很快這節課差不多快結束的時候，林曉留給了學生們一段自習的時間，而他則繼續進入了郵箱中，驚訝地發現，彼得·舒爾茨居然這麽快就回覆了。
打開郵件，彼得·舒爾茨是直接發了一封附件過來，他下載了附件之後，便看了起來。
【林教授，你好！很高興收到你的來信，沒想到你對我當初的研究也會產生興趣，我看完了你的信，想來你現在研究的應該是霍奇猜想吧？
關於你的問題，如何證明這個關於伽羅瓦表示的問題，在最近我研究霍奇理論的時候，恰好有所研究。
首先註意，可以把A`∈H1（E＊o′，Z/2（1））設為H1et（E，Z/2）的類，由於其在剩餘域中是可逆的，這個群將E上的Z/2參數化……
Br（S′）[2]→Br（S′Kp）[2]=Z/2，到這裏，我們需要繼續將其歸類為p進域中，然後用數論的方法將其解決，相信在這個問題上，沒有比林教授你更多的了。
其實在研究霍奇理論的過程中，我對霍奇猜想也有過思考，不知道你有沒有看過2016年羅森松·安德烈亞斯的那篇論文，那裏面對如何獲得正確的積分霍奇猜想，做出了推測，我推薦你去看看，總而言之，上同調和霍奇猜想緊密相連，或許Motive，就是解決霍奇猜想最關鍵的因素！
……】
看完了這篇回信，彼得·舒爾茨基本上沒有任何藏私，並且給予了林曉很大的啟發。
還有舒爾茨推薦的那篇論文，林曉自然是看過的。
而現在，他已經有了真正解決霍奇猜想的底氣了。
至少，是對霍奇猜想的重要階段性成果。
想到這，他長出一口，然後嘴角一翹。
或許，去國際數學家大會的時候，可以換一個報告主題了？
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當然，林曉的這一番介紹，還是給了他們這些學生一些興趣，一位菲爾茲獎大佬都研究的東西，他們研究一下，不是更好？
尤其是林曉還提到了霍奇理論，雖然他們不是都知道霍奇理論，但是作為學數學的，他們都知道霍奇猜想嘛。
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畢竟相比起他們以前所學習的那些數論中的經典定理等，p－adic理論這種連名字都稍微有些奇怪的理論，他們想要理解這個玩意兒，也仍然有些困難。
當然，這時候就要輪到老師來起作用了。
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“現在，各位同學應該基本理解了什麽是p進數。”
“p進數主要有兩個性質。”
“第一個，是代數性質。”
“在代數上，Qp是Zp的分式域，跟準確地說，Qp=Zp[1/p]……”
“大家要記住，在咱們數論的領域中，p進數的代數性質是比較重要的，大家回去之後要好好學習一下這方面的知識，鞏固一下，考試是會考的哦～”
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因為這意味著林曉往往會在這方面出上一道壓軸題，雖然說難度不會有之前那道題那麽難，但是得分率肯定也不會高。
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“p－adic的拓撲性質，主要表現為在Qp上的範數，|·|p是一個超度量的範數。它不僅滿足三角不等式，而且滿足更強的關系……”
“這說明，如果將Qp想象成一個幾何空間，那麽其中的三角形的一邊長度總小於等於另外兩邊中較長者，也就是說所有的三角形都是銳角等腰三角形。這與實際中的歐式幾何空間完全不同。由此Qp和R具有截然不同的拓撲性質……嗯？”
說到這裏的時候，林曉的眉頭忽然皺了一下，停止了自己的講述。
而在場的學生們聽到林曉“嗯？”了一聲就不說話了，便都感到了疑惑。
這是怎麽了？
不過，林曉遲疑了片刻之後，又繼續講述起來：“Qp上的拓撲是完全不連通的豪斯多夫空間，同時，Qp是由Q完備化而得，因此Q在Qp中稠密，不僅如此，任意給定……嗯？”
剛說到這裏，林曉忽然又停了下來，擡頭看著PPT上面他列出的一些陳述p進數拓撲性質的數學式，一只手扶住下巴，陷入了沈思的狀態中。
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“霍奇猜想雖然和霍奇理論有關系，但是霍奇理論包括的內容更大吧？我記得霍奇理論主要講的是一種利用偏微分方程研究光滑流形M的上同調群的方法，霍奇猜想只是包括在裏面吧？”
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正當底下學生們都看著林曉那盯著ppt思考的模樣時，林曉終於回過了神。
想起自己此時還在上課，他便回過了神，歉意道：“不好意思，剛才想起了其他事情。”
“咱們繼續。”
隨後，他便加速地講起了課，當然，其實講到這裏他也基本快完了，很快地把拓撲結構講完，然後按照慣例給他們出了一道題，讓他們自己做。
而後，林曉便坐在辦公桌上，找出了紙和筆，開始計算起來。
他剛才為什麽停頓了兩下，便是因為他在這個p－adic理論上，看到了能夠幫助他解決當前所面臨的霍奇猜想中的一個問題。
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“而且完全可以是Motive上同調！”
林曉在紙上寫下了數個看起來十分覆雜的式子，然後開始嘗試著往上同調方向靠去。
但是片刻後，他眉頭再次一皺。
“如何證明有一類有限非分歧伽羅瓦擴張L/Kp，其環為O`，剩餘域為k`，對其分別存在A`∈H1（E＊o′，Z/2（1））？”
“不解決這個問題的話，在伽羅瓦表示的過程上，將存在一定的問題……”
思考片刻後，他索性直接登錄了自己的郵箱，然後將他的思路附在上面，然後發給了彼得·舒爾茨。
他當然有彼得·舒爾茨的聯系方式。
不過，因為他用的是多媒體上面的電腦，而投影直接投到了黑板的屏幕上面，於是在場的學生們全都看見了。
當看見林曉將他的思路附上去後，在場的學生們都是茫然的。
這是啥玩意兒？
他們除了開頭認識一個p－adic，之後就啥都不認識了，而且林曉因為是發給彼得·舒爾茨的，所以他這封郵件也是全英文的，這就更讓在場的學生們感到迷茫了。
原來這就是數學頂級大牛平常研究的東西嗎？
然而這還沒完，當最後，他們看到林曉附上了彼得·舒爾茨的名字時，就更加驚呆了，林曉這封郵件，居然是發給一位菲爾茲獎得主的？
什麽叫人脈？這特麽的就叫人脈！
而這些，暫時和他們都沒有關系，他們只能低下頭，繼續苦逼地做起了他們的題。
就這樣，時間很快的過去了。
下課鈴聲響起，十分鐘之後，上課鈴聲再度響起，林曉繼續講課。
很快這節課差不多快結束的時候，林曉留給了學生們一段自習的時間，而他則繼續進入了郵箱中，驚訝地發現，彼得·舒爾茨居然這麽快就回覆了。
打開郵件，彼得·舒爾茨是直接發了一封附件過來，他下載了附件之後，便看了起來。
【林教授，你好！很高興收到你的來信，沒想到你對我當初的研究也會產生興趣，我看完了你的信，想來你現在研究的應該是霍奇猜想吧？
關於你的問題，如何證明這個關於伽羅瓦表示的問題，在最近我研究霍奇理論的時候，恰好有所研究。
首先註意，可以把A`∈H1（E＊o′，Z/2（1））設為H1et（E，Z/2）的類，由於其在剩餘域中是可逆的，這個群將E上的Z/2參數化……
Br（S′）[2]→Br（S′Kp）[2]=Z/2，到這裏，我們需要繼續將其歸類為p進域中，然後用數論的方法將其解決，相信在這個問題上，沒有比林教授你更多的了。
其實在研究霍奇理論的過程中，我對霍奇猜想也有過思考，不知道你有沒有看過2016年羅森松·安德烈亞斯的那篇論文，那裏面對如何獲得正確的積分霍奇猜想，做出了推測，我推薦你去看看，總而言之，上同調和霍奇猜想緊密相連，或許Motive，就是解決霍奇猜想最關鍵的因素！
……】
看完了這篇回信，彼得·舒爾茨基本上沒有任何藏私，並且給予了林曉很大的啟發。
還有舒爾茨推薦的那篇論文，林曉自然是看過的。
而現在，他已經有了真正解決霍奇猜想的底氣了。
至少，是對霍奇猜想的重要階段性成果。
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