第777章

“其法並上下廣折半以為之廣，以直高乘之，又以直高為股，以上廣減下廣，餘者半之為勾。勾股求弦，以為斜高。有芻童，謂如覆鬥者，四面皆殺。其法倍上長加入下長，以上廣乘之；倍下長加入上長，以下廣乘之；並二位，以高乘之，六而一。隙積者，謂積之有隙者，如累棋、層壇及酒家積罌之類。雖似覆鬥，四面皆殺，緣有刻缺及虛隙之處，用芻童法求之，常失於數少。餘思而得之，用芻童法為上位、下位，別列下廣，以上廣減之，餘者以高乘之，六而一，並入上位。假令積罌：最上行縱廣各二罌，最下行各十二罌，行行相次。先以上二行相次，率至十二，當十一行也。以芻童法求之，倍上行長得四，並入下長得十六，以上廣乘之，得之三十二；又倍下行長得二十四，並入上長，得二十六，以下廣乘之，得三百一十二；並二位得三百四十四，以高乘之，得三千七百八十四。重列下廣十二，以上廣減之，餘十，以高乘之，得一百一十，並入上位，得三千八百九十四；六而一，得六百四十九，此為罌數也。芻童求見實方之積，隙積求見合角不盡，益出羨積也。履畝之法，方圓曲直盡矣，未有會圓之術。凡圓田，既能拆之，須使會之覆圓。古法惟以中破圓法拆之，其失有及三倍者。餘別為拆會之術，置圓田，徑半之以為弦，又以半徑減去所割數，餘者為股；各自乘，以股除弦，餘者開方除為勾，倍之為割田之直徑。以所割之數自乘倍之，又以圓徑除所得，加入直徑，為割田之弧。再割亦如之，減去已割之弧，則再割之弧也。假令有圓田，徑十步，欲割二步。以半徑為弦，五步自乘得二十五；又以半徑減去所割二步，餘三步為股，自乘得九；用減弦外，有十六，開平方，除得四步為勾，倍之為所割直徑。以所割之數二步自乘為四，倍之得為八，退上一位為四尺，以圓徑除。今圓徑十，已足盈數，無可除。只用四尺加入直徑，為所割之孤，凡得圓徑八步四尺也。再割亦依此法。如圓徑二十步求弧數，則當折半，乃所謂以圓徑除之也。此二類皆造微之術，古書所不到者，漫志於此。積尺，在本文中泛指體積，也就是立方尺的意思。積，為數學名詞，兩個或多個數相乘的結果稱為這些數的積。在古代算學書籍裏常借用長度單位名稱來兼表面積單位或者體積單位，因此，積尺在古代既可以表示平方尺，也可以表示立方尺。芻萌，是指長方楔形狀，其底面為長方形，兩個側面為梯形，也稱為芻甍（hōnɡ）。鱉臑，為一種錐體，底面為直角三角形且有一棱與底面垂直。陽馬，是指四棱錐的意思，有時指底面為長方形且有一棱與底面垂直的錐體。”

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